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米光 丁 垜術(だじゅつ)について 垜術については関孝和の『括要算法』の中で述べている。1r+2r+3r+・・+nrの公式を世界で始めて作り上げた人がわが国の関孝和であった。この公式はベルヌーイの数といって、学校ではあまり説明されていない。 今、三方並の上登り数数式は倍減加え掛け半数これは図のように 1+2+3+4+5+・・・・・ Σk =n(n+1)/2 しかし 「竪亥録仮名抄」では上の数(初項=a)と登り数(n)で計算する。したがって和Sは S=(2a+(n-1)d)/2 よりd(公差)=1だから和=n(2a-1+n)/2 =登り数(2×上数-登り数)2 として図であれば 上数=1 ,登り数=5だから和=15となる。円形並今周数知られたものは 6を加えて12で割って1を加える。これは 1+6+12+18+・・・・・の数列である。1を除けば等差数列である。 1+6(1+2+3+・・・・)従がって和Sは S=1+3n+3n^2であるが ここでも 周囲の数だけが分かっているn=(周囲の数)÷6であるから S=n12 (n+6)+1だから和=(周囲の数+6)周囲の数12 +1 この図では 和=(12+6)+1=19となる。 今、方数のわかった方錘積はお互いに加えお互いに掛けて3で割る。 1+2^2+3^2+4^2+・・・・ 自然数の平方和である。 この和Sは S=16 n(n+1)(2n+1)=13 n(n+1)(n+12 ) としているようである。ここでは方数=nとなる。 図の場合は方数n=5だから和はS=55である。 (註) 三方錘積は 正三角形を底辺として1辺を 1個ずつ積み重ねていくから 1+3+6+10+・・・であるから S=16 n(n+1)(n+2)となる。 これらのものが元になり関孝和 の垜術ができている。 (1+1)nの展開式の係数。現在は パスカルの三角係数といわれているが、 中国の朱世傑著『四元玉鑑』1303年には 図のようなものがあり、早くから使われていたようである。 『括要算法』関孝和遺稿1712年著より 1 基 1 1 2 圭 1 2 1 3平方 1 3 3 1 4立法 1 4 6 4 1 5三乗 1 5 10 10 5 1 6四乗 1 6 15 20 15 6 1 7五乗 1 7 21 35 35 21 7 1 8六乗 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9七乗 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10八乗 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11九乗 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 12十乗 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 一 ニ 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 級 級 級 級 級 級 級 級 級 級 級 級 n 全 取 取 空 取 空 取 空 取 空 取 空 二 六 三 四 三 六 分 分 十 十 十 十 之 之 分 二 分 六 一 一 之 分 之 分 為 為 一 之 一 之 加 加 為 一 為 五 減 加 減 加 ここで垜術に使われている主な言葉について述べる。 衰垜又は衰垜積 底子(自然数) 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,・・・・・・・・ 圭垜積1+2+3+4+・・・+n = (n+n^2)/2 圭垜(圭垜積を一般項とする)1 ,3, 6, ,・, n(n+1)/2 = n (n+1)(n+2)/6 三角衰垜1 ,4 ,10 ,20 ,・・・,n(n+1)(n+2)/2・3 = (2n+3n^2+n^3)/24 再乗衰垜1 ,5 ,15 ,35 ,・・・・・・,n(n+1)(n+2)(n+3)/2・3・4 = (6n+11n^2+6n^3+n^4)/120 三乗衰垜1 ,6 ,21 ,56 ,・・・・・・,n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/2・3・4・5 = (24n+50n^2+35n^3+10n^4+n^5)/720 ・・・・・・・・・・・・・・・・ 方垜(自然数和、自然数平方和、自然数立方和など) 圭垜積1+2+3+4+・・・+n = (n+n2)/2 平方垜積1^2+2^2+3^2+・・+n^2=n(n+1)(2n+1)2・3 = (n+3n^2+2n^3)/6 立方垜積1^3+2^3+3^3+4^3+・・・+n^3=n2(n+1)24 = (n2+2n^3+n^4)/4 ・・・・・・・・・・・ 底子と方垜積の組み合わせ 平方垜 1 ,4 ,9 ,16, 25, 36,・・・・・・・・ 平方垜積1 ,5 ,14 ,30, 55, 91,・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ここに 平方垜演段を示すことにする。 平方垜演段 基数を置き之を 再自乗して得られる数1個を相消を得る式○二級数3箇置き、 二分の一を取り、一箇と二分の一箇を得る。一級数一箇二つ併せて 二箇と二分の一箇を得る。通分すると分子5を得る。○平方垜原法三 を置き分母二を以って相乗6を得る。寄位数多くのときは加え、 少ない時は減らす寄位は余り一實とす。○三級数三箇を置き 分母二を以って相乗法6と為す。實を法で 割って六分の一を得これ三級の取り数である。 最後の1を0に置き、1の前の数を1とすし次に取数を求める。 1 基 1 1 1基 1 0 2 圭 1 2 1 2 圭 1 2 0 3平方 1 3 3 1 3平方 1 3 3 0 4立法 1 4 6 4 1 4立法 1 4 6 4 0 5三乗 1 5 10 10 5 1 5三乗 1 5 10 10 5 0 6四乗 1 6 15 20 15 6 1 6四乗 1 6 15 20 15 6 0 7五乗 1 7 21 35 35 21 7 1 ・・・・・・・・・・・・・・・ 8六乗 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 12 16 0 -130 0 9七乗 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10八乗 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11九乗 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 12十乗 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 {3-(1+3×12 )}÷3=16 (三級取数) 平の 平一 平二 二取 平三 方n 方級 方級 級数 方数 1 基 1 1 取数=1(1級取数) 2 圭 1 2 1 (2-1)÷2=12 (2級取数) 3平方 1 3 3 1 {3-(1+3×12 )}÷3=16 (3級取数) 4立法 1 4 6 4 1{4-(1+4×12 +6×16 )}÷4=0 (4級取数) 5三乗 1 5 10 10 5 1 {5-(1+5×12 +10×16 +10×0)}÷5=-130 (5級取数) 6四乗 1 6 15 20 15 6 1 {6-(1+6×12 +15×16 +20×0+15×(-130 ))÷6=0 (6級取数) ・・・・・・・・・・・・・・ 2 圭 1 2 1 2 圭 1 2 0 3平方 1 3 3 1 3平方 1 3 3 0 4立法 1 4 6 4 1 4立法 1 4 6 4 0 5三乗 1 5 10 10 5 1 5三乗 1 5 10 10 5 0 6四乗 1 6 15 20 15 6 1 6四乗 1 6 15 20 15 6 0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2 圭 (1 2 0) 2 圭 (1 2×12 0) 12(1 1 0) 3 平方(1 3×12 3×16 0) 3 平方(1 32 12 0) 16(2 3 1 0) 4 立 法 (1 4×12 6×16 4×0 0 ) 4 立 法 (1 2 1 0 0 ) 14( 1 2 1 0 0 ) 5 三乗(1 5×12 10×16 10×0 5×(-130) 0 ) 5 三乗( 1 52 53 0 -16) 0 ) 130(6 15 10 0 -1 0 ) 6 四乗(1 6×12 15×16 20×0 15×(-130) 6×0 0) 6 四乗( 1 3 52 0 -12) 0 0) 112(2 6 5 0 -1 0 0 ) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ n (n-2)乗 (1 n×12 2 圭 法2 1 1 0 3 平方 法6 2 3 1 0 4 立法 法4 1 2 1 0 0 5 三乗 法30 6 15 10 0 -1 0 6 四乗 法12 2 6 5 0 -1 0 7 五乗 法42 6 21 21 0 -7 0 1 0 8 六乗 法24 3 12 14 0 -7 0 2 0 0 9 七乗 法90 10 45 60 0 -42 0 20 0 -3 0 10 八乗 法20 2 10 15 0 -14 0 10 0 -3 0 0 11 九乗 法66 6 33 55 0 -66 0 66 0 -33 0 5 0 12十乗 法24 2 12 22 0 -33 0 44 0 -33 0 10 0 0 置 加 加 以 減 以 加 以 減 以 加 以 底 此 此 底 此 底 此 底 此 底 此 底 子 級 級 子 級 子 級 子 級 子 級 子 以 之 之 冪 之 冪 之 冪 之 冪 之 冪 此 数 数 相 数 相 数 相 数 相 数 相 級 以 乗 乗 乗 乗 乗 之 底 得 得 得 得 得 数 子 数 数 数 数 数 相 相 乗 乗 得 得 数 数 右各得数を置き各垜法を以って之を割り積をえる。各垜法を求め各垜法原法を以って通分する。 関孝和の取数と同じ計算になる。 これはJacques Bernoulli が彼の没後1713年にArs Conjectandi に発表したものであるが、関孝和も没後1712年『括要算法』に彼の弟子たちによって発表され関は取数という名前をつけている。 階差数列で考えられる方垜積 階差数列では中国の朱世傑が1303年『四元玉鑑』を著した中に招差法が記載されているものをここで示すことにする。 k=Σk=1+2+3+4+・・・+n=n(n+1)/2! k=Σ k(k+1)/2!=1+3+6+・・・= n(n+1)(n+2)/3! k=Σ k(k+1)(k+2)/3!=1+4+10+・= n(n+1)(n+2)(n+3)/4! ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ k=Σ {k(k+1)(k+2)・・・(k+p-1)=1p+1n(n+1)・・・(n+p) 又はk=Σ k(k-1)(k-2)・・・(k-r+1)/r!=n(n+1)(n-1)(n-2)(n-3)・・(n-r+1)(r+1)! 例えば k=Σk2=Σ k=Σ k(k+1)- Σk=1n k=n(n+1)(n+2)/6 -n(n+1)/2=n(n+1)2n+1)/6 簡単に求められる。ただしk=Σ kへ2=k=Σ k(k-1)+Σk=Σ k としてもよい。
by kurumewasan
| 2011-07-11 11:19
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